Question

2．用长为8cm，宽为5cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成一个长方体容器，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

分析 首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．

解答 解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，
则有V=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜2.5）
求导可得到：V′=12x²-52x+40
由V′=12x²-52x+40=0得x₁=1，x₂=$\frac{10}{3}$．
所以当x＜1时，V′＞0，当1＜x＜2.5时，V′＜0，
所以，当x=1，V有极大值，即最大值V（1）=18cm³，
所以高为1cm，体积最大值18cm³．

点评 此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆．