Question

已知二次函数f（x）满足：
（1）若f（x+1）=2x+f（x），f（0）=1，求f（x）的解析式；
（2）若f（2-x）=f（2+x），f（x）最大值为5，f（0）=1，求f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
∵f（0）=1∴c=1（2分）
∵f（x+1）=2x+f（x）
∴a（x+1）²+b（x+1）+1=2x+ax²+bx+（13分）
整理，得2ax+a+b=2x（4分）
∴（5分）
∴（6分）
∴f（x）=x²-x+（17分）

（2）由f（2-x）=f（2+x），得f（x）对称轴是x=2（8分）
设f（x）=a（x-2）²+5（10分）
由f（0）=1，得a×（0-2）²+5=1∴a=-1（12分）
∴f（x）=-（x-2）²+5．（13分）
分析：（1）用待定系数法设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）f（0）=1?c=1，再利用两方程相等对应项系数相等来求a，b．
（2）f（2-x）=f（2+x）?对称轴是x=2，再有f（x）最大值为5，设f（x）=a（x-2）²+5利用f（0）=1求出a即可．
点评：本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．