Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²-2n+q(p，q∈R)，n∈N^*.

（1）求q的值；

（2）若a₁与a₅的等差中项为18，b_n满足a_n=2log₂b_n，求数列{b_n}的前n项和.

Answer 1

(1)解法一:当n=1时，a₁=S₁=p-2+q,当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p(n-1)²+2(n-1)-q

=2pn-p-2.∵{a_n}是等差数列,∴p-2+q=2p-p-2.∴q=0.

解法二:当n=1时,a₁=S₁=p-2+q;当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p(n-1)²+2(n-1)-q=2pm-p-2;

当n≥3时,a₁-a_n-1=2pn-p-2-［2p(n-1)-p-2］=2p;a₂=p-2+q+2p=3p-2+q.又a₂=2p·2-p-2=3p-2,

所以3p-2+q=3p-2,得q=0.

 (2)解:∵a₃=,∴a₃=18.

又a₃=6p-p-2,∴6p-p-2=18.∴p=4.∴a_n=8n-6.

又a_n=2log₂b_n,得b_n=2^4n-3.∴b₁=2,==2⁴=16,即{b_n}是等比数列.

∴数列{b_n}的前n项和T_n==(16ⁿ-1).