Question

已知函数f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，求实数m的取值范围．

Answer 1

当m=0时，f（x）=2x²+4x+4，g（x）=0，
∵f（x）=2（x+1）²+2＞0，∴m=0符合题意．
若m＜0，在x＜0时，g（x）＞0，在x≥0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x²+（4-m）x+4-m＞0在[0，+∞）上恒成立．
∵

m-4

4

＜0，∴f（0）=4-m＞0，∴m＜4，∴m＜0符合题意．
若m＞0，在x＞0时，g（x）＞0，在x≤0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x²+（4-m）x+4-m＞0在（-∞，0]上恒成立．
∴

m-4 4 ≤0 △=(4-m)2-8(4-m)＜0

或

m-4 4 ＞0 f(0)=4-m＞0

∴0＜m＜4，
综上可知m＜4．