Question

在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，D，E分别为AC，AB边上的点，且DE∥BC，沿DE将△ADE折起（记为△A₁DE），使二面角A₁-DE-B为直二面角．
（1）当E点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值；
（2）当A₁B的长度最小时，求二面角A₁-BE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知，，∠CDA₁为二面角A₁-DE-B的平面角，∠CDA₁=90°，设CD=x，表示出A₁B，建立函数关系，求函数的最值即可．
（2）过D 作DH⊥AE于H，则可得∠A₁HD是二面角A₁-BE-C的平面角，在直角△A₁HD中求解．

解答：解：（1）∵DE∥BC，∴CD⊥DE，A₁D⊥DE，∴∠CDA₁为二面角A₁-DE-B的平面角，，∴∠CDA₁=90°
设CD=x，AD=4-x，则A₁B²=BC²+CD²+DA₁²=2x²-8x+25=2（x-2）²+17
当x=2时，即D为CA中点，此时EBA为中点时，AB有最小值

17

（2）过D 作DH⊥AE于H，∵A₁D⊥ABC  连接A₁H∴A₁H⊥AE
∴∠A₁HD是二面角A₁-BE-C的平面角
tan∠A₁HD=

A1D

DH

=

2

6 5

=

5

3

，∴∠A₁HD=arctan

5

3

．
二面角A₁-BE-C的大小为arctan

5

3

．

点评：本题考查二面角的定义、计算，空间距离的计算，二次函数的性质，以及建模解模的数学能力．