Question

已知函数f(x)=2(x＞-1)，曲线y=f(x)在点P(x₀，f(x₀))处的切线l分别交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点.

(Ⅰ)求x₀=1时切线l的方程；

(Ⅱ)求AOB面积的最小值及此时P点的坐标.

Answer 1

解：(Ⅰ)(x)=. 

设y₀=f(x₀),过P(x₀,y₀)的切线方程为

y-y₀=(x-x₀).即y=.

∴当x₀=1时,切线l的方程为x-y+3=0.

(Ⅱ)当x=0时,y=,当y=0时,x=-x₀-2.

S_ΔAOB=|·(x₀+2)|=.

令=t    (t＞0).则

S_ΔAOB=.

由于t＞0,解得t=,

当t＜时，＜0,当t＞时, ＞0.

∴当t=，即=时，S取得最小值S_ΔAOB=.

此时x₀=-,y₀=2.

所以ΔAOB面积的确最小值为,此时P点的坐标为(-).