Question

2．设向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-$\sqrt{3}$cosα），$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m+sinα}{2}$），其中λ，m，α为实数．
（1）若λ=m=0，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos2α+$\frac{1}{8}$，求tanα；
（2）若$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，求$\frac{λ}{m}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系，化简可得7tan²α-4$\sqrt{3}$tanα-9=0，由此求得tanα的值．
（2）由$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，化简可得 λ²-$\frac{λ+2}{2}$=2sin（α+$\frac{π}{3}$）∈[-2 2]，求得-$\frac{3}{2}$≤λ≤2，可得 $\frac{λ}{m}$=2-$\frac{4}{λ+2}$的范围．

解答 解：（1）∵λ=m=0，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m（λ+2）+（λ²-$\sqrt{3}$cosα）•$\frac{m+sinα}{2}$=-$\sqrt{3}$cosα•$\frac{sinα}{2}$=cos2α+$\frac{1}{8}$，
∴cos2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{8}$=0，即 $\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{1}{8}$=0，即 $\frac{1{-tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{1}{8}$=0．
化简可得7tan²α-4$\sqrt{3}$tanα-9=0，求得tanα=$\sqrt{3}$ 或tanα=-$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．
（2）由$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，得 $\left\{\begin{array}{l}{λ+2=2m}\\{{λ}^{2}-\sqrt{3}cosα=m+sinα}\end{array}\right.$，∴λ²-$\frac{λ+2}{2}$=$\sqrt{3}$cosα+sinα=2sin（α+$\frac{π}{3}$）∈[-2 2]，
解得-$\frac{3}{2}$≤λ≤2，∴$\frac{λ}{m}$=$\frac{λ}{\frac{λ+2}{2}}$=2-$\frac{4}{λ+2}$∈[-6，1]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．