Question

（2012•宿州三模）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=

4n+1

2

（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明数列{a_2n-1}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+a_n+1=

4n+1

2

，可得a_n-1+a_n=

4n-3

2

，联立可得a_n+1-a_n-1=2，结合a₁=1，可得a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差数列．及可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求n为奇数时a_n，当n为偶数时，an+an+1=an+n+1=

4n+1

2

，即可求a_n，结合通项公式及等差数列的求和公式可求S_n

解答：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，a_n+a_n+1=

4n+1

2

①，a_n-1+a_n=

4n-3

2

（n∈N₊）．②，
①-②可得a_n+1-a_n-1=2，又a₁=1，所以a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差数列．
所以数列{a_2n-1}是以1为首项，2为公差的等差数列…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n为奇数时a_n=n，则n为偶数时，an+an+1=an+n+1=

4n+1

2

，
得an=n-

1

2

，
所以an=

n，n为奇数 n- 1 2 ，n为偶数

．…（8分）
n为偶数时，Sn=

n 2 [(a1+a2)+(an-1+an)]

2

=

n( 5 2 + 4n-3 2 )

4

=

2n2+n

4

n（n≥3）为奇数时，S_n=S_n-1+a_n=

2(n-1)2+(n-1)

4

+n=

2n2+n+1

4

又

2+1+1

4

=1=S1
故Sn=

2n2+n+1 4 ，n为奇数 2n2+n 4 ，n为偶数

..…（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的定义在等差数列的证明中的应用，等差数列的通项公式及求和公式的应用