Question

已知函数f(x)=

x 2+ax+a

x

，且a＜1
（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（2）设函数g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a，k为常数..若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并比较

1

x1

+

1

x2

与4的大小．

Answer 1

分析：（1）任取1≤x₁＜x₂，根据实数的性质，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
（2）利用零点分段法，可将函数g（x）的解析式化为分段函数的形式，结合函数的单调性，及二次函数的图象和性质，可得0＜x₁≤1＜x₂＜2，进而求出k的取值范围，及

1

x1

+

1

x2

与4的大小．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x 2+ax+a

x

=x+

a

x

+a
任取1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，
又∵a＜1
得x₁•x₂-a＞0
则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

a

x1

+a）-（x2+

a

x2

+a）=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)+

x1•x2-a

x1•x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增
（2）函数g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a=x²+kx+|x²-1|=

2x2+kx-1，|x|＞1 kx+1，|x|≤1

，
故函数g（x）在（0，1]上是单调函数，故方程g（x）=0在（0，1]上到多一个解
方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，不妨设0＜x₁＜x₂＜2
若1＜x₁＜x₂＜2，则x₁•x₂=-

1

2

＜0，不符合题意，
∴0＜x₁≤1＜x₂＜2，
由g（x₁）=0得：k=-

1

x1

，故k≤-1；
由g（x₂）=0得：k=

1

x2

-2x₂，故-

7

2

＜k＜-1
综上当-

7

2

＜k＜-1时，方程g（x）=0在（0，2）上有两个解
∵0＜x₁≤1＜x₂＜2，
∴k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x₂，
∵x₂＜2
∴

1

x1

+

1

x2

＜4

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，不等关系与不等式，其中熟练掌握单调性的证明过程判断出函数的单调性是解答的关键．