Question

已知函数f（x）=2^x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可设2^x=t，存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立即为

x+1

≤2x+a恒成立即要a≥(-2x+

x+1

)max，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．

解答：解：（1）F(x)max=

1+a，a＞- 1 2 1 4a ，a≤- 1 2

（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得|t²-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t²-at＞1或t²-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得a＜(t-

1

t

)max或a＞(t+

1

t

)min
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为

x+1

≤2x+a恒成立
∴a≥(-2x+

x+1

)max
设m（x）=-2x+

x+1

令

x+1

=t，则x=t2-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(t2-1)+t=-2(t-

1

4

)2+

17

8

所以，当t=1时，m（x）_max=1∴a≥1

点评：考查学生利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法．