Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$，如图所示，若$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，且D为BC中点，则$\overrightarrow{AD}$的长度为（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 AD为△ABC的中线，从而有$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，带入$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，根据长度$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{{\overrightarrow{AD}}^{2}}$进行数量积的运算便可得出$\overrightarrow{AD}$的长度．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}（5\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$=$\frac{1}{2}（6\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=3\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$；
∴$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{（3\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{72-18+\frac{9}{4}}=\frac{15}{2}$．
故选：A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法：$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{{\overrightarrow{AD}}^{2}}$，向量的加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．