Question

直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,EB₁=1,D、F、G分别为CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点，EF与B₁D相交于H.

(1)求证：B₁D⊥平面ABD；

(2)求证：平面EGF∥平面ABD；

(3)求平面EGF与平面ABD的距离.

Answer 1

(1)证明：如图建立空间直角坐标系，则B₁(0,0,0),B(0,0,4),D(2,0,2),设A₁(0,a,0),则A(0,a,4).

=(2,0,2),=(2,0,-2),=(0,a,0),

∴·=0, ·=0.

∴B₁D⊥,B₁D⊥.

∴B₁D⊥平面ABD.

(2)证明:又由已知有C₁(2,0,0),E(0,0,1),G(1,,0),F(1,0,0),?

∴=(1,0,-1),=(0,,0).

∴=2,=2.

∴∥,∥.

∴∥平面ABD，∥平面ABD.

又∩=F,∴平面F∥平面ABD.

(3)解析:由上述知是平面D与平面F的法向量，又EB=(0,0,3),所以两平面之间的距离为d=.