Question

已知数列{a_n} 满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

)an+sin2

nπ

2

a_n+sin²

nπ

2

，则该数列的前20项的和为

 

．

Answer 1

分析：通过对n的奇偶性的讨论，得到数列{a_n}的奇数项是常数列1；偶数项是常数列2，利用分组法求出数列的前20项的和．

解答：解：当n为奇数时，a_n+2=a_n+1
当n为偶数时，a_n+2=2a_n，
∴数列{a_n}的奇数项是公差为1的等差数列，其前10项和为

(1+10)×10

2

=55；
偶数项是公差为2的等比数列，其前10项和为

2(1-210)

1-2

=2046，
∴该数列的前20项的和55+2046=2101；
故答案为2101．

点评：求数列的前n项和，首先求出数列的通项，利用通项的特点选择合适的求和方法．