Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=

2

，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：BC∥平面AB₁C₁；
（2）求点B₁到面A₁CD的距离．

Answer 1

分析：（1）利用线线平行证明线面平行，证明BC∥B₁C₁即可；
（2）利用等体积法，即由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D，可求点B₁到面A₁CD的距离．

解答：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴BC∥B₁C₁，
又BC?平面AB₁C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，
∴BC∥平面AB₁C₁；
（2）解：∵∠ACB=90°，AA₁=AC=1，BC=

2

，CD⊥AB，
∴CD=

6

3

，AD=

3

3

，AB=

3

∴A₁D=

2 3

3

∵AA₁=AC=1，∴A₁C=

2

∴A₁D²+CD²=A₁C²，
∴A₁D⊥CD，∴S△A1CD=

1

2

×

2 3

3

×

6

3

=

2

3

设点B₁到面A₁CD的距离为h．
∵S△A1DB1=

1

2

×

3

×1=

3

2

∴由V_B1-A1CD=V_C-A1B1D，可得

1

3

•

2

3

h=

1

3

•

3

2

•

6

3

∴h=

3

2

即点B₁到面A₁CD的距离为

3

2

．

点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．