Question

【题目】已知椭圆的上顶点为,离心率为. 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点

证明：以为直径的圆经过点；

记和的面积分别是,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析，②.

【解析】试题分析：（1）中，令得，， 又，则，从而,进而可得椭圆的方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理以及平面向量数量积公式可证明 恒等于零，从而可得以为直径的圆经过定点；设直线:，显然，由，利用弦长公式可得，同理，从而可得，直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，从而求得，从而可得两面积比，利用基本不等式求解即可.

试题解析：（1）已知.中，令得，，

又，则，从而,

椭圆的方程为：,

（2）直线的斜率显然存在，设方程为.由得

设,

由已知，所以.

,

故以为直径的圆经过点 .

设直线:，显然，由，得，或，

，则，

由知/span>，直线:

那么 ,

由得，解得或,

，则，

由知，直线:,

那么 ,

，

当且仅当时等号成立，即最小值为.