Question

已知函数f（x）=|1-

1

x

丨（x＞0）
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求

1

a

+

1

b

的值；②求

1

a2

+

1

b2

的取值范围；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数f（x）=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

的形式，进而由反比例型函数的图象和性质，分析出函数的单调性，结合单调性，可得

1

a

+

1

b

的值及

1

a2

+

1

b2

的取值范围
（2）由（1）中函数的单调性，分a，b∈（0，1），a，b∈（1，+∞），及a∈（0，1），b∈（1，+∞），三种情况分别讨论实数a，b的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=|1-

1

x

丨=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1

∴函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
①由0＜a＜b且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b
则

1

a

-1=1-

1

b

，即求

1

a

+

1

b

=2
②由①得：

1

b

=2-

1

a

∴

1

a2

+

1

b2

=

1

a2

+（2-

1

a

）²=2（

1

a

-1）²+2
∵0＜a＜1，

1

b

=2-

1

a

＞0
∴1＜

1

a

＜2
∴0＜

1

a

-1＜1
∴2＜2（

1

a

-1）²+2＜4
即

1

a2

+

1

b2

∈（2，4）
（2）不存在满足条件的实数a，b
若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b
①若a，b∈（0，1），则

f(a)= 1 a -1=b f(b)= 1 b -1=a

，解得a=b，满足a＜b
②若a，b∈（1，+∞），则

f(a)= 1 a -1=a f(b)= 1 b -1=b

，此方程组无解
③若a∈（0，1），b∈（1，+∞），则a=f（1）=0∉（0，+∞），
综上可知：不存在满足条件的实数a，b

点评：本题考查了函数单调性的性质，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．