Question

正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的边长为4，M、N、E、F分别是A₁D₁、A₁B₁、D₁C₁、B₁C₁的中点.

(1)求证:平面AMN∥平面EFBD;

(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离.

Answer 1

(1)证明：如图,建立坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4).

取MN之中点G及EF之中点K,BD之中点Q,则G(3,1,4),K(1,3,4),Q(2,2,0).

∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-1,1,4),=(-1,1,4).

可见=,=,

∴MN∥EF,AG∥QK,

∴MN∥平面EFBD,AG∥平面EFBD,

∴平面AMN∥平面EFBD.

(2)解：设n=(1,λ,μ)是平面EFBD的法向量,

则n·=（1,λ,μ）·(2,2,0)=2+2λ=0,

及n·=(1,λ,μ)·(-1,1,4)=-1+λ+4μ=0,

∴λ=-1,μ=,∴n=(1,-1,).

两平面之间的距离为

d=.