设F1.F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4a}$-$\frac{{y}^{2}}{a}$=1的两个焦点.若点P在双曲线上.且$\overrightarrow{P{F} {1}}$•$\overrightarrow{P{F} {2}}$=0.|$\overrightarrow{P{F} {1}}$|•|$\overrightarrow{P{F} {2}}$|=2 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．设F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4a}$-$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）的两个焦点，若点P在双曲线上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2，求双曲线的方程．

分析利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出双曲线的方程．

解答解：由于三角形PF₁F₂为直角三角形，故PF₁²+PF₂²=4c²=20a，
所以（PF₁-PF₂）²+2PF₁•PF₂=20a，
由双曲线定义得16a+4=20a，即a=1，所以双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

点评本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

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