Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

1+x＞0 1-x＞0

，求得x的范围，可得函数的定义域．
（Ⅱ）根据函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0，可得log_a（1+x）＞log_a（1-x），分当0＜a＜1和a＞1时两种情况，分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，解不等式组求得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）∵函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（Ⅲ）∵f（x）＞0，∴log_a（1+x）＞log_a（1-x），
当0＜a＜1时，由-1＜1+x＜1-x＜1，求得-1＜x＜0，故不等式的解集为（-1，0）；
当a＞1时，由1＞1+x＞1-x＞-1，求得 0＜x＜1，故不等式的解集为（ 0，1）．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，解对数不等式，属于中档题．