Question

（2013•浙江二模）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=

7

，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿
线段EC翻折到PAC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC，BD交于点O，证明AC⊥BD，利用平面PAC⊥平面ABCE，可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-AB-C的大小．

解答：（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，
∵AB=AD=4，BC=CD=

7

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，
∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）解：如图，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设点P（x，0，z）
又A(2

3

，0，0)，B（0，2，0），C(-

3

，0，0)，E(

3

，-1，0)，
由PE=2，PC=

7

有

(x- 3 )2+1+z2=4 (x+ 3 )2+z2=7

，解得x=z=

2

3

3

，∴P(

2

3

3

，0，

2

3

3

)…（9分）
则有

AP

=(-

4 3

3

，0，

2 3

3

)，设平面PAB的法向量为

n

=(a，b，c)，
由

AP • n =0 AB • n =0

，即

z=2x y= 3 x

，∴可取

n

=（1，

3

，2），…（12分）
又易取得平面ABC的法向量为（0，0，1），并设二面角P-AB-C的大小为θ，
∴cosθ=

(0，0，1)•(1， 3 ，2)

1• 8

=

2

2

，∴θ=

π

4

∴二面角P-AB-C的大小为

π

4

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．