Question

已知函数f(x)=log(x+)(a＞1,x≥1).?

(1)求它的反函数f ^-1 (x),并指出f ^-1 (x)的定义域;

(2)当1＜a＜2时,证明f ^-1 (n)＜ (n∈N^*).

Answer 1

(1)解析:∵ (a＞1,x≥1),?

∴有x+ =a^y,两边平方化简可得=a^y-x,即有x²-1=a^2y-2a^yx+x²,

也即.?

∴f　^-1 (x)=(a^x+a^-x).?

又∵a＞1,x≥1,?

∴可知x+≥1.?

由y=log_ax，当a＞1时，在x∈(0,+∞)上是增函数可知≥0.?

∴y=f(x)的反函数为f ^-1(x)=  (a^x+a ^-x),其定义域为x∈［0，+∞).

(2)证明:用比较法.?

∵f ^-1(n)-  (2ⁿ+2^-n)=  (aⁿ+a ^-n)-  (2ⁿ+2^-n)

=,?

又由于1＜a＜2,?

∴aⁿ-2ⁿ＜0,(2a)ⁿ-1＞0,aⁿ＞0.?

则可知＜0,?

即f　^-1(n)-＜0.?

故f^-1(n)＜  (2ⁿ+2^-n)(n∈N^*).