Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点为直线上一点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点．

（1）若，求圆的方程；

（2）求证：点始终在某定圆上．

（3）是否存在一定点（异于点），使得为常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设，则圆的方程为，通过圆心到直线的距离，可得，从而得圆的方程；（2）设，利用消去参数，即得点的轨迹方程；（3）设点，（为常数），利用计算即可．

（1）设，则圆的方程为，

直线的斜率为，

又，

所以的斜率，

从而的方程为，即，

则圆心到直线的距离为，

由，解得，

所以圆的方程为；

（2）设，由得，

消去参数，得，

所以点的轨迹方程为圆：；

（3）设点，（为常数），

则，

整理，得，

由于，所以，

从而，解得或（舍），

所以存在定点，使得．