Question

（2007•红桥区一模）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为

15(2- 3 )

4

（Ⅰ）求sinA+sinC的值；
（Ⅱ）求b的值．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理，化简2b=a+c得sinA+sinC=2sinB，结合B=30°即可算出sinA+sinC的值；
（II）由正弦定理的面积公式，算出ac=15(2-

3

)，再利用余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

的式子，代入题中数据化简整理得

3b2

2ac

=1+

3

2

，两式联解算出b²=5，从而得出b=

5

．

解答：解：（1）由题意，可得
∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，
由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
∵∠B=30°，可得2sinB=2sin30°=1，
由此可得sinA+sinC的值为1…（4分）
（2）∵由正弦定理，得S=

1

2

acsin30° =

15(2- 3 )

4

，
∴解之得ac=15(2-

3

)，…（8分）
根据余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

即cos300=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

=

3b2-2ac

2ac

=

3b2

2ac

-1cos300=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-2ac-b2

2ac

，
代入2b=a+c，得

3

2

=

3b2-2ac

2ac

=

3b2

2ac

-1
∴

3b2

2ac

=1+

3

2

，…（10分）
化简得3b2=2ac•

2+ 3

2

=30(2-

3

)

2+ 3

2

=15，
∴b²=5，解之得b=

5

（舍负）…（12分）

点评：本题给出三角形三边成等差数列，在已知面积和一个角的情况下，求边b的值，着重考查了利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．