Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（

1

2

）^x．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 在所给坐标系中画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用函数的奇偶性求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 根据函数的表达式作出函数的图象，根据函数的图象写出函数的单调区间．

解答：解　（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，则-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-(

1

2

)-x=-2^x．
∴函数的解析式为f（x）=

-2x，x＜0 0，x=0 ( 1 2 )x，x＞0

．
（Ⅱ）函数图象如图所示：

通过函数的图象可以知道，f（x）的单调递减区间是（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数的图象的画法，比较基础．