Question

（2011•南充一模）已知(2x-

2

2

)9的展开式的第7项为

21

4

．，则

lim

x-∞

（x+x²+…+xⁿ）等于（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  1

  4

• C．-

  1

  4

• D．-

  3

  4

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式T₇=

C

6 9

2^3x•(-

2

2

)6=

21

4

可求得x，再利用等比数列的求和公式可求x+x²+…+xⁿ，从而可得答案．

解答：解：∵T₇=

C

6 9

2^3x•(-

2

2

)6=84×

1

8

•2^3x=

21

4

，
∴2^3x=

1

2

=2^-1，
∴x=-

1

3

．
∴x+x²+…+xⁿ=

x(1-xn)

1-x

=

- 1 3 [1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

=-

1

4

[1-(-

1

3

)n]，
∴

lim

x-∞

（x+x²+…+xⁿ）=

lim

x-∞

{-

1

4

[1-(-

1

3

)n]}=-

1

4

．
故选C．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查等比数列的求和与数列的极限，求得x的值是关键，考查运算能力，属于中档题．