Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，f（1）=

1

2

，f（2）=

1

4

，求f（2010）

Answer 1

分析：先令x=1求得f（3）的值，令x=2求得f（4）的值，令x=3求得f（5）的值，令x=4求得f（6）的值，发现函数f（x）是以4为周期的函数，进而求得f（2010）=f（502×4+2）=f（2）求得答案．

解答：解：令x=1，则f（3）+f（3）f（1）+f（1）=

3

2

f（1）+

1

2

=1，求得f（3）=

1

3

令x=2，则f（4）+f（4）f（2）+f（2）=

5

4

f（4）+

1

4

=1，解得f（4）=

3

5

同理求得f（5）=

1

2

，f（6）=

1

4

故函数f（x）是以4为周期的函数
∴f（2010）=f（502×4+2）=f（2）=

1

4

点评：本题主要考查了抽象函数的及其应用．解题的关键是通过求得函数的若干项，发现其中的规律．