Question

15．已知函数f（x）=x²+ax+b
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为偶函数便可得到f（-x）=f（x），这样即可得到-a=a，从而a=0；
（2）求函数f（x）的对称轴x=-$\frac{a}{2}$，从而根据二次函数的单调性得出$-\frac{a}{2}≤1$，解出a即得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）为偶函数；
∴f（-x）=x²-ax+b=x²+ax+b；
∴-a=a；
∴a=0；
（2）f（x）的对称轴为x=$-\frac{a}{2}$；
f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴$-\frac{a}{2}≤1$，a≥-2；
∴实数a的取值范围为[-2，+∞）．

点评 考查偶函数的定义，多项式相等时，对应系数相等，以及二次函数的对称轴及其单调性．