Question

已知R是实数集，实数a、b都是常数，a＞0，f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+x，h(x)是f（x）的导函数，函数F（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，F(x)=

h(x)，x＞0 -h(x)，x＜0

（I）假设h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，求a、b的值；
（II）假设h（x）是偶函数，m+n＞0，m•n＜0，证明：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出h（x），得到F（x）的解析式，（I）h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，得出关于a、b的方程与不等式，求解即可；
（II）h（x）是偶函数可得出b=0，由函数的解析式可以得出，F（x）是一个奇函数，也是一个增函数，又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，结合函数的性质进行进行证明即可

解答：解：由题意h（x）=ax²+bx+1，故F(x)=

ax2+bx +1，x＞0 -ax2-bx -1，x＜0

（I）h（-1）=0得a-b+1=0  ①
f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，a＞0，故h（x）=ax²+bx+1≥0在R上恒成立，即b²-4a≤0②
由①得b=a+1代入②得（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，故a=1，∴b=2
（II）∵h（x）是偶函数，，∴b=0，∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

是一个奇函数，
又a＞0，x＞0，F（x）＞1，x＜0，F（x）＜-1，故在定义域上也是一个增函数，
又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，，则有m＞-n＞0，故有F（m）＞F（-n）=-F（n），
∴F（m）+F（n）＞0

点评：本题研究函数的单调性与导数的关系，函数单调性的性质，比较抽象，解决问题的关键是把题设中的条件进行正确转化，判断，解题中善于观察敢于判断也很关键，如在第二问的求解中，由偶函数的性质得出b=0，进而化简了F（x），能马上看出这个分段函数的性质是快捷解题的基础．