Question

如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；

（II）设求二面角的大小。

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO又，所以，

EOBD为平行四边行，ED∥OB。                            

∵AB=BC，∴RO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁、ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线。          

（Ⅱ）连结A₁E，由AA₁=AC=AB可知，A₁ACC₁为正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，

∴A₁E⊥平面ADC_1，作EF⊥AD，垂足为F，连结A₁F，则A₁F⊥AD,∠A₁FE为二面角的平面角。

不妨设AA₁=2，

则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，

∴∠A₁EF=60^O。

所以二面角为60^O。                                          

解法二：

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O-xyz，其中原点O为AC的中点。

设A（a,0,0）,B(0,b,0),B₁(0,b,2c).

则 

又  

       ∴

所以ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线。        

（Ⅱ）不妨设A（1，0，0）

则B（0，1，0），C（-1，0，0），A（1，0，2），

          

∴         BC⊥面A₁AD.

又       

∴         EC⊥面C₁AD.                                          

        ，即得和 的夹角为60⁰

            所以二面角为60°。