Question

定义在R上的函数f（x），对?x∈R，满足f（1-x）=f（1+x），f（-x）=-f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是

①②④

．（把所有正确结论的序号都填上）
①f（0）=0；
②f（x+2）=f（-x）；
③f（x）在[-6，-4]上是增函数；
④f（x）在x=-1处取得最小值．

Answer 1

分析：通过已知条件判断函数的对称性，奇偶性，然后判断选项的正误即可．

解答：解：因为定义在R上的函数f（x），对?x∈R，函数满足f（-x）=-f（x），所以函数是奇函数，定义域是R，所以f（0）=0；①正确；
又函数满足f（1-x）=f（1+x），
所以函数关于x=1对称，可得f（x+2）=f（-x）；②正确；
f（x+2）=f（-x）；f（-x）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期是4，
f（x）在[-6，-4]上是增函数，③不正确；
f（x）在[0，1]上是增函数．函数又是奇函数，函数关于x=1对称[1，2]是减函数；
所以函数在[-1，0]也是增函数，[-2，-1]上是减函数，所以函数在x=-1球的最小值，④正确；
正确结果是：①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的单调性与函数的奇偶性，对称性的综合应用，考查计算能力，逻辑推理能力．