Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+

1

x2

（x∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论

Answer 1

分析：（1）利用奇函数定义f（-x）=-f（x）求f（x）的解析式；
（2）利用导数方法判断f（x）在（0，1]上的单调性．

解答：（1）解：设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0)，?f(-x)=-2ax+

1

x2

∵f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）
∴f(x)=2ax-

1

x2

，?x∈(0，1]
（2）答：f（x）在（0，1]上单调递增．
证明：∵f′(x)=2a+

2

x3

=2(a+

1

x3

)，?x∈(0，1]
∴

1

x3

＞1
又∵a＞-1
∴a+

1

x3

＞0
即f′(x)=2(a+

1

x3

)＞0
∴f（x）在（0，1]上单调递增．

点评：本题考查奇函数定义的灵活运用及导数法判断函数的单调性．