Question

已知数列{a_n}满足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）试求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：bn=

n

an

（n∈N^*），试求{b_n}的前n项和公式T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把n=1代入求出a₁，再利用a_n+1=S_n+1-S_n求解数列的通项公式即可．
（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=1-a_n①
∴S_n+1=1-a_n+1   ②
②-①得a_n+1=-a_n+1+a_n?an+1=

1

2

a_n；
n=1时，a₁=1-a₁?a₁=

1

2

an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n（6分）
（Ⅱ）因为  b_n=

n

an

=n•2ⁿ．
所以  T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ  ③
故  2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹    ④
③-④-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
整理得  T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）

点评：本题的第一问考查已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．