Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N⁺）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）b_n=log₂（a_n+1-n），若（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）＞k

n+1

对一切n≥2恒成立，求实数k的范围．

Answer 1

分析：（1）先对关系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1，即数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，
（2）根据（1）可求出数列{a_n-2ⁿ}的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式，
（3）根据b_n=log₂（a_n+1-n），可得到b_n的表达式，然后代入到不等式的左端中，利用单调性即可求解k的范围

解答：证明：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1
∴a_n+1-2ⁿ⁺¹=a_n+2ⁿ+1-2ⁿ⁺¹=an-2n+1
即(an+1-2n+1)-(an-2n)=1
∵a1-21=0
∴数列{a_n-2ⁿ}是以1为公差以0为首项的等差数列
解：（2）由（1）可得an-2n=n-1
∴an=2n+n-1
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（2+2²+…+2ⁿ）+（0+1+…+n-1）
=

2(1-2n)

1-2

+

(n-1)n

2

=2n+1-2+

1

2

n(n-1)
（3）∵b_n=log₂（a_n+1-n）=log22n=n
∴1+

1

bn

=1+

1

n

∴（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）=（1+

1

2

）（1+

1

3

）…（1+

1

n

）＞k

n+1

对一切n≥2恒成立
令f（n）=

1

n+1

（1+

1

2

）（1+

1

3

）…（1+

1

n

），
则f（n+1）=

1

n+2

（1+

1

2

）（1+

1

3

）…（1+

1

n

）（1+

1

n+1

）=

(1+ 1 2 )(1+ 1 3 )…(1+ 1 n )

n+1

•

n+2

n+1

=f(n)•

n+2

n+3

＞f（n）
∴f（n+1）＞f（n）即f（n）单调递增
∴f（2）=

3

2

为最小值
∴

3

2

＞k
∴k＜

3

2

点评：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．