Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a＞b＞c)图象上两点A(m₁，f(m₁))、B(m₂，f(m₂))，且f(x)满足f(1)=0，a²+［f(m₁)+f(m₂)］·a+f(m₁)·f(m₂)=0.

(1)求证：b≥0；

(2)求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3).

(3)问能否得出f(m₁+3)、f(m₂+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.

Answer 1

(1)证明:∵f(m₁)、f(m₂)满足a²+［f(m₁)+f(m₂)］a+f(m₁)f(m₂)=0，

即［a+f(m₁)］［a+f(m₂)］=0，∴f(m₁)=-a或f(m₂)=-a.

又∵m₁或m₂是f(x)=-a的一个实根，∴Δ≥0，即b²+4ab≥0，b(b+4a)≥0.

又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.∴3a-c＞0.∴b+4a=3a-c＞0.∴b≥0.

(2)证明:设ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，

则一个根为1，另一个根为，∵a＞0，c＜0，∴＜0.∵a＞b＞c且b=-a-c≥0，∴a＞-a-c＞c.

∴-2＜≤-1，2≤|x₁-x₂|＜3.

(3)解:设f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)=a(x-1)(x-).由已知f(m₁)=-a或f(m₂)=-a，不妨设f(m₁)=-a，则(m₁-1)(m₁-)=-a＜0.

∴＜m₁＜1.∴m₁+3＞+3＞1.∴f(m₁+3)＞f(1)=0.∴f(m₁+3)＞0.

同理，当f(m₂)=-a时，有f(m₂+3)＞0，

因此f(m₂+3)或f(m₁+3)中至少有一个为正数.