题目内容

已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*），若数列{an+1+λan}是等比数列，
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．
分析：（Ⅰ）由{an+1+λan}为等比数列，可化
an+1+λan
an+λan-1
为（1+λ）•
an+
6
1+λ
an-1
an+λan-1
，应为常数，从而可得关于λ的方程，解出可得λ；
（Ⅱ）按（Ⅰ）所求λ值分情况讨论，根据{an+1+λan}成等比数列可分别得到一递推式，两式相减可求得an；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得bn，令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|，则|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，等价于Sn的最大值小于m，利用错位相减法可求得Sn，从而可得其最大值；
解答：解（Ⅰ）∵{an+1+λan}为等比数列，
∴
an+1+λan
an+λan-1
=
an+6an-1+λan
an+λan-1
=
(1+λ)an+6an-1
an+λan-1
=（1+λ）•
an+
6
1+λ
an-1
an+λan-1
应为常数，
∴λ=
6
1+λ
，解得λ=2或λ=-3；
（Ⅱ）当λ=2时，可得{an+1+2an}为首项是a2+2a1=15，公比为3的等比数列，
则an+1+2an=15•3n-1  ①，
当λ=-3时，{an+1-3an}为首项是a2-3a1=-10，公比为-2的等比数列，
∴an+1-3an=-10（-2）n-1  ②，
①-②得，an=3n-(-2)n；
（Ⅲ）由3nbn=n（3n-an）=n[3n-3n+（-2）n]=n（-2）n，
∴bn=n（-
2
3
）n，
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=
2
3
+2（
2
3
）2+3（
2
3
）3+…+n（
2
3
）n，
2
3
Sn=（
2
3
）2+2（
2
3
）3+…+（n-1）（
2
3
）n+n（
2
3
）n+1，
两式相减，得
1
3
Sn=
2
3
+（
2
3
）2+（
2
3
）3+…+（
2
3
）n-n（
2
3
）n+1=
2
3
[1-(
2
3
)n]
1-
2
3
-n（
2
3
）n+1=2[1-（
2
3
）n]-n（
2
3
）n+1，
∴Sn=6[1-（
2
3
）n]-3n（
2
3
）n+1＜6，
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，只须m≥6，
∴m的取值范围是[6，+∞）．
点评：本题考查数列的函数特性、数列求和及由递推式求数列通项，考查学生分析解决问题的能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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