Question

设正整数数列8，a₂，a₃，a₄是等比数列，其公比q不是整数，且q＞1，则这个数列中a₄可取到的最小值为

27

．

Answer 1

分析：由题意可设r=

n

m

为既约分数，由r为大于1的非整数，则2≤m＜n，进而可得a₄=a₁×（

n

m

）³为整数，a₁=k×m³，k∈N^*．，通过分析a₄取最小值时的条件可得答案．

解答：解：由题a₁，a₂，a₃，a₄为正整数，可设公比r=

n

m

为既约分数，
∵r为大于1的非整数，则2≤m＜n，
又∵a₄=a₁×（

n

m

）³为正整数，∴a₁=k×m³，k∈N^*．
∴a₄=k×n³≥1×3³=27，取k=1，n=3时，a_4min=27，
此时a₁=8，a₂=12，a₃=18，a₄=27．
故答案为：27

点评：本题考查等比数列的项的求解，解题的关键是要分析a₄取最小值时的条件，属中档题．