Question

解下列不等式：
（1）(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2；（2）log₇3x＜log₇（x²-4）．

Answer 1

分析：（1）由于不等式两边的底数相等且小于1，我们可根据对应的指数函数为减函数，进而将不等式(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2转化为一个关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到答案．
（2）由于不等式两边的底数相等且大于1，我们可根据对应的对数函数为增函数及对数函数的定义域，进而将不等式log₇3x＜log₇（x²-4）转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）∵0＜

1

2

＜1，
∴y=（

1

2

）^x为减函数，
又∵(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2
∴3x+1≥x-2，（5分）
解得x≥-

3

2

．（8分）
故(

1

2

)3x+1≤(

1

2

)x-2的解集为[-

3

2

，+∞）
（2）∵7＞1
∴y=log₇x为增函数
又∵log₇3x＜log₇（x²-4）
∴

3x＞0 x2-4＞0 3x＜x2-4

（4分）
解得：x＞4．（8分）
故log₇3x＜log₇（x²-4）的解集为（4，+∞）

点评：本题考查的知识点是指数不等式与对数不等式的解法，掌握指数（对数）不等式解法的步骤是解答本题的关键．①将不等式两边底数化成一致（本题中两边底数已经相等，省略此步骤）②分析底数与1的关系，并判断对应指数（对数）函数的单调性③根据对应函数的单调性将不等式转化为整式不等式③对数不辞劳苦还要考虑真数必须大于0．