Question

在三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.

(1)求证:平面GFE∥平面PCB;

(2)求二面角B-A-P-C的大小;

(3)求直线PF与平面PAB所成角的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，

所以EF∥BC，GF∥CP.

因为EF、GF平面PCB，

所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.

又EF∩GF=F,

所以平面GFE∥平面PCB.

(2)过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H.连结HB.

因为BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C，

所以BC⊥平面PAC.

所以HB⊥PA.

所以∠BHC是二面角BAPC的平面角.

依条件容易求出CH=，所以tan∠BHC=.

所以∠BHC=arctan.

所以二面角BAPC的大小是arctan.

(3)方法一:如图，设PB的中点为K，

连结KC，AK，因为△PCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB.又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,所以AC⊥平面PCB.所以AK⊥PB.因为AK∩KC=K,所以PB⊥平面AKC.又PB平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB.在平面AKC内,过点F作FM⊥AK,垂足为M.

因为平面AKC⊥平面PAB,所以FM⊥平面PAB.连结PM,

所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角.

容易求出PF=,FM=.所以sin∠MPF=.所以∠MPF=arcsin，

即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin.

(3)方法二:连结FB，

因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，

所以PC⊥平面ABC，

即PC是三棱锥P—ABF的高.

依条件知V_P—ABF=×PC×(×AF×BC)

=×1×(×1×1)=.

又V _F—PAB=×h×S_△PAB(其中h是点F到平面PAB的距离)

=×h×(××)=×h×=h,

所以由=h，解得h=.

设PF与平面PAB所成的角为α，

又PF=,所以sinα=.所以α=arcsin，

即直线PF与平面PAB所成角的大小是arcsin.

解法二:依条件建立如图所示空间直角坐标系C—xyz.

所以A(2，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1).

(1)略.3分

(2)显然=(0，1，0)是平面PAC的一个法向量.

设n=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量，

因为=(-2,0,1),=(-2,1,0),

所以由n·=0,n·=0,解得n=(1,2,2).

设二面角B-AP-C的大小为θ，

所以cosθ==.

所以二面角BAPC的大小为arccos.(arccos=arctan)

(3)设PF与平面PAB所成的角为α，

由(2)知平面PAB的一个法向量n=(1,2,2).

又FP=(-1，0，1)，

所以cos(-α)= =.11分

所以sinα=.所以α=arcsin,

即直线PF与平面PAB所成角的大小是arcsin