Question

已知函数f（x）=loga^（1-x），g（x）=loga^（1+x），（a＞0，a≠1），若F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的定义域；
（2）判断F（x）的奇偶性并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得

1-x＞0 1+x＞0

，求得-1＜x＜1，从而得到F（x）的定义域．
（2）根据函数F（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且F（-x）=F（x），可得函数的奇偶性．

解答：解：（1）由题意可得F（x）=f（x）+g（x）=loga^（1-x）+loga^（1+x）=loga(1-x2)，
再由

1-x＞0 1+x＞0

，求得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数F（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
且F（-x）=loga[1-(-x)2]=loga(1-x2)=F（x），
故函数F（x）为偶函数．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断方法，属于中档题．