Question

在直角三角形ABC中，斜边BC为10，以BC中点为圆心，作半径为3的圆，分别交BC于P、Q两点，设L=|AP|²+|AQ|²+|PQ|²，试问L是否为定值？如果是定值，求出定值，反之说明理由．

Answer 1

分析：由题意可得|PQ|=6，根据直角三角形的性质得到|OA|=

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|BC|=5．然后分别在△AOP、△AOQ中利用余弦定理求出|AP|²、|AQ|²的表达式，由∠AOP+∠AOQ=180°利用诱导公式化简，可得|AP|²+|AQ|²=2（OA²+OP²）=68，从而算出L=|AP|²+|AQ|²+|PQ|²=104，可得答案．

解答：解：根据题意，可得|OP|=|OQ|=3．
∵O为Rt△ABC的斜边中点，∴|OA|=

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|BC|=5，
在△AOP中，根据余弦定理，
可得|AP|²=|OA|²+|OP|²-2|OA|•|OP|cos∠AOP…①．
同理在△AOQ中，|AQ|²=|OA|²+|OQ|²-2|OA|•|OQ|cos∠AOQ…②．
∵∠AOP+∠AOQ=180°，可得cos∠AOP+cos∠AOQ=0
∴将①、②相加，可得|AP|²+|AQ|²=2（|OA|²+|OP|²）=2（25+9）=68
又∵|PQ|²=4|OP|²=36，
∴L=|AP|²+|AQ|²+|PQ|²=68+36=104，即L为定值．

点评：本题给出直角三角形中的圆，探求三角形APQ三边的平方和是否为定值．着重考查了直角三角形的性质和余弦定理等知识，属于中档题．