Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x₁≥0，x₂≥0，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）问函数g（x）=f（x）-2x-

1

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在[

1

2

，1]上是否有零点？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抽样函数的性质，利用赋值法即可求f（0）的值；
（Ⅱ）根据赋值法判断函数的单调性，利用单调性判断函数是否有零点即可．

解答：解：（Ⅰ）由条件（3）知，令x₁=0，x₂=0，
得f（0）≥f（0）+f（0）．
即f（0）≤0，
由条件（1）f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（Ⅱ）由条件（3）知，令x₃=x₁+x₂，
则x₂=x₃-x₁，
即f（x₃）≥f（x₁）+f（x₃-x₁）．
∵x₃＞x₁，
∴0≤x₃-x₁≤1，
∴f（x₃-x₁）≥0，
即f（x₃）≥f（x₁），
∴f（x）在[0，1]上递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=1．
若存在

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≤a≤1，使得f（a）＞2a≥2×

1

2

=1，与f（x）的最大值1矛盾，
∴对任意的x∈[

1

2

，1]都有f（x）≤2x，
∴恒有f（x）≤2x＜2x+

1

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，
即f（x）-2x-

1

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＜0，
∴g（x）=f（x）-2x-

1

10

在[

1

2

，1]上没有有零点．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生分析问题的能力，综合性较强，难度较大．