Question

（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数，并给予证明；
（Ⅲ）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输出的值．

Answer 1

(1) 当时，取得极小值，无极大值
(2) 函数在区间上有且只有一个零点.,根据构造函数思想，利用端点值函数值异号判定。
(3) 输出的值为4

试题分析：解：（Ⅰ）∵，，……………1分
当时，；当时，.……………3分
当时，取得极小值，无极大值.……………4分
（Ⅱ）函数在区间上有且只有一个零点.    ……………5分
证明如下：
∵，
，
，
函数在区间上必定存在零点.      ………6分
∵，当时，，
在区间上单调递增，             8分
∴函数在区间上的零点最多一个.    ……9分
综上知：函数在区间上存在唯一零点．
（Ⅲ）程序框图的算法功能：找出最小的正整数,使的零点满足.               …10分
∵，
当时，；
当时，.   ……11分
又在区间上单调递增，
当时，；当时，.………13分
输出的值为4． …………………………………14分
点评：本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。