Question

已知二次函数f（x）=4x²-kx+12．
（1）若函数f（x）在区间[5，+∞）是增函数，求常数k的取值范围；
（2）若不等式f（x）＜4x的解为1＜x＜3，求常数k的值；
（3）若函数f（x）在区间[5，20]上的最大值为12，求常数k的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=4x²-kx+12的图象是抛物线，且开口向上，对称轴x=

k

8

的右侧是增函数，故令

k

8

≤5，解得k≤40，∴k的取值范围是{k|k≤40}；
（2）由f（x）＜4x得，4x²-kx+12＜4x，整理，得4x²-（k+4）x+12＜0，∵该一元二次不等式的解为1＜x＜3，∴

k+4

4

=1+3，∴k=12；
（3）∵二次函数f（x）=4x²-kx+12的对称轴是x=

k

8

，令

k

8

≤5，得k≤40；即当k≤40时，f（x）在[5，20]上是增函数，在x=20处取得最大值f（20）=12，此时k=80，不适合，舍去；
令

k

8

≥20，得k≥160；即当k≥160时，f（x）在[5，20]上是减函数，且在x=5处取得最大值f（5）=12，此时k=20，不适合，舍去；
令5≤

k

8

≤20，得40≤k≤160，此时f（x）在[5，20]上的最大值是f（20）=12，或f（5）=12，解得k=80，或k=20（舍去）；
综上，得k=80．