Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：?x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值-

2

3

．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：x∈(0，

3

)时，F(x)≤

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数中不含偶次项，得到b=d=0；求出导函数，令导函数在x=1的值为0，令函数在x=1的值为-

2

3

，列出方程组，求出a，c求出解析式．
（2）设出任意两个点，求出该两个点处的导数值，即两条切线的斜率，求出它们的积的范围，得到不可能为-1．
（3）求出f（x）d的解析式，利用基本不等式求出最大值，注意检验等号能否取得．

解答：解：（1）因为，?x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：f(1)=-

2

3

，得a+c=-

2

3

（3分）
解之得：a=

1

3

，c=-1从而，
函数解析式为：f(x)=

1

3

x3-x（5分）
（2）由于，f'（x）=x²-1，
设：任意两数x₁，x₂∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1
又因为：-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1
故，当x∈[-1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直（10分）
（3）当：x∈(0，

3

)时，x²∈（0，3）且3-x²＞0此时F（x）=|xf（x）|=|x(

1

3

x3-x)|=

1

3

x2(3-x2)≤

1

3

×(

x2+3-x2

2

)2=

3

4

当且仅当：x²=3-x²，即x=

6

2

∈(0，

3

)，取等号，故；F(x)≤

3

4

（14分）

点评：利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意需要满足的条件：一正、二定、三相等．