Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的正弦值为

3

3

．

Answer 1

分析：BB₁与平面ACD₁所成角即为DD₁与平面ACD₁所成角，过点D作平面ACD₁的垂线交平面与点O，连接D₁O，则∠DD₁O即为DD₁与平面ACD₁所成角，利用等体积法求出DO长，在直角三角形中求出∠DD₁O的正弦值即可．

解答：解：∵BB₁∥DD₁，
∴BB₁与平面ACD₁所成角即为DD₁与平面ACD₁所成角，
过点D作平面ACD₁的垂线交平面与点O，连接D₁O，则∠DD₁O即为DD₁与平面ACD₁所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
∵V_D-ACD1=V_D1-ADC，
∴

1

3

×

3

4

(

2

)2×DO=

1

3

×

1

2

×1×1×1，则DC=

3

3

，
在Rt△DD₁O中，sin∠DD₁O=

DO

DD1

=

3 3

1

=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD₁的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现．