Question

如图，多面体ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BB₁=2CC₁=4。

（1）若O是AB的中点，求证：OC⊥A₁B；
（2）在线段AB₁上是否存在一点D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在确定点D的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）设线段A₁B₁的中点为E，
由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥AB，
又BB₁∥AA₁，
所以AA₁B₁B是正方形，点O是线段AB的中点，
所以OE∥AA₁，
所以OE⊥A₁B₁，
由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥AC，
又BB₁∥AA₁∥CC₁，
所以BB₁⊥BC，CC₁⊥AC，CC₁⊥BC
且AC=4，AA₁=4，CC₁=2，
所以A₁C₁=B₁C₁，
所以C₁E⊥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面DC₁E，
所以OC₁⊥A₁B₁。
（Ⅱ）设OE∩AB₁=D，则点D是AB₁的中点，
所以ED∥AA₁，
从而ED∥CC₁，ED=CC₁、
所以四边形CC₁ED是平行四边形，
所以CD∥C₁E，
所以CD∥平面A₁B₁C₁，
即存在点D使得CD∥平面A₁B₁C₁，点D是AB₁的中点。