Question

【题目】已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称．

(Ⅰ)求实数的值；

(Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) 不存在区间使得函数在区间上的值域是.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。 (Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令， ，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。

试题解析：

(Ⅰ) 由题意得，

令，得，

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减，

∴当有极大值，也是最大值，且为，

∴，

解得．

又的图象关于轴对称．

∴函数为偶函数，

∴，

∴．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，

则，

∴，

令，

则，

∴， 在上递增．

假设存在区间，使得函数在上的值域是，

则，

问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，

即方程在区间上是否存在两个不相等实根，

令， ，

则,

设,

则， ，

故在上递增，

故，

所以，

故在区间上单调递增，

故方程在区间上不存在两个不相等实根，

综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是．