Question

已知奇函数f（x）=log₂（a+x）-log₂（a-x）（a＞0），定义域为（b，b+2）（定义域是指使表达式有意义的实数x的集合）．
（1）求实数a和b的值，并证明函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）设f（x）的反函数为f^-1（x），若不等式f^-1（x）≤m•2^x对于x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函数的定义域关于原点对称求出b的值，再根据f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，最后利用单调性的定义说明不函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）根据反函数的定义求出原函数的反函数f^-1（x）═

2x-1

2x+1

(x∈R)，再由f^-1（x）≤m•2^x即m≥

2x-1

2x(2x+1)

，此式对于x∈[1，2]恒成立，再利用换元结合基本不等式得到

2x-1

2x(2x+1)

有最大值为3-2

2

，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵奇函数的定义域关于原点对称，∴b+b+2=0⇒b=-1，∴定义域为（-1，1），
从而

x＞-a x＜a

（a＞0）的解集为（-1，1），∴a=1，
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x)=log2

1+x

1-x

，
设-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2(

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

)=log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)，
由-1＜x₁＜x₂＜1⇒0＜1+x₁＜1+x₂且0＜1-x₂＜1-x₁⇒0＜

1+x1

1+x2

＜1且0＜

1-x2

1-x1

＜1
⇒0＜

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜1⇒log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在其定义域上是增函数
（2）令f（x）=y，则2y=

1+x

1-x

⇒2^y-x•2^y=1+x⇒x=

2y-1

2y+1

（y∈R），
∴反函数f^-1（x）═

2x-1

2x+1

(x∈R)，由f^-1（x）≤m•2^x⇒

2x-1

2x+1

≤m•2x，整理得m≥

2x-1

2x(2x+1)

，此式对于x∈[1，2]恒成立，令2^x-1=t，则t∈[1，3]，

2x-1

2x(2x+1)

=

t

t2+3t+2

=

1

t+ 2 t +3

≤

1

2 2 +3

=3-2

2

，
当t=

2

t

，即t=

2

∈[1，3]时上式成立等号，即

2x-1

2x(2x+1)

有最大值为3-2

2

，
∴m≥3-2

2

．

点评：本小题主要考查函数单调性、函数奇偶性的应用、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．