Question

（2008•卢湾区一模）在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=75°，点D在AB上，且CD=10．
（1）若点D与点A重合，试求线段AB的长；
（2）在下列各题中，任选一题，并写出计算过程，求出结果．
①（解答本题，最多可得6分）若CD⊥AB，求线段AB的长；
②（解答本题，最多可得8分）若CD平分∠ACB，求线段AB的长；
③（解答本题，最多可得10分）若点D为线段AB的中点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）先由A和B的度数求出C的度数，若点D与点A重合，DC即为AC的长，故由AC，sinB及sinC的值，利用正弦定理即可求出AB的长；
（2）若选①，由A和B的度数求出∠ACB的度数，根据CD与AB垂直，由A的度数求出∠ACD的度数，进而得到∠BCD的度数，在直角三角形ACD中，由CD的长及tan∠ACD的值，求出AD的长，在直角三角形BCD中，由tan∠BCD及CD的长，求出BD的长，利用AD+DB即可求出AB的长；
若选②，由A和B的度数求出∠ACB的度数，根据CD为角平分线，可得∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB，在三角形ACD中，由CD，sinA及sin∠ACD的值，利用正弦定理求出AD的长，同理在三角形BCD中，由CD，sinB及sin∠BCD的值，利用正弦定理求出BD的长，根据AD+DB=AB，即可求出AB的长；
若选③，延长CD到E，使ED=CD，连接AE及BE，由D为AB中点，根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得ACBE为平行四边形，得到两组对边相等，在三角形ACE中，根据余弦定理表示出CE²=AC²+AE²-2AC•AE•cos∠CAE，且由AE与CB平行，根据∠ACB的度数求出∠CAE的度数，BC=AE，同时根据正弦定理，用sinB，sin∠ACB及AB表示出AE积AC，代入表示出的式子中，得到关于AB的方程，求出方程的解得到AB的长．

解答：解：（1）∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，又sin75° =sin(45° +30° )=

6 + 2

4

，
由正弦定理，得AB=

AC•sin∠ACB

sin∠B

=

10sin60°

sin75°

=15

2

-5

6

；
（2）根据题意画出相应的图形，如图所示：

若选①，如图①所示：
若CD⊥AB，∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°，又∠A=45°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD=10，又∠BCD=15°，由cos15°=sin75° =

6 + 2

4

，
得sin15° =

6 - 2

4

，tan15° =2-

3

，
故BD=10tan∠BCD=20-10

3

，AB=AD+DB=30-10

3

；
若选②，如图②所示：
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，又CD为角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=30°，得AD=

10sin∠ACD

sinA

=5

2

，BD=

10sin∠BCD

sinB

=5(

6

-

2

)，AB=AD+DB=5

6

；
若选③，根据正弦定理得：AC=

ABsinB

sin∠ACB

=

ABsin75°

sin60°

，BC=

ABsinA

sin∠ACB

=

ABsin45°

sin60°

，
如图③所示：延长CD到E，使DE=CD，连接EA、EB，
由余弦定理可得CE²=AC²+AE²-2AC•AE•cos∠CAE，
又cos∠CAE=cos（π-∠ACB）=-cos∠ACB，BC=AE，
得（2CD）²+AB²=2AC²+2BC²，
即400+AB2=

AB2( 6 + 2 )2

2•3

+

4AB2

3

，
解得：AB=

1200 5+2 3

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，锐角三角形函数定义及特殊角的三角函数值，第二问是多选一的问题，学生只需选择一个解答即可．正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．