题目内容

已知函数 $数学公式$ ，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e²]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．

解：（I）∵函数 $\text{[math]}$ ，a＞0
∴f′（x）=1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，x＞0
令t= $\text{[math]}$ ＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2 $\text{[math]}$ ，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②△=a²-8＞0，即：a＞2 $\text{[math]}$ ，y=0有两个不等根
由2t²-at+1＞0，得 $\text{[math]}$ 或t＞ $\text{[math]}$ ，又x＞0
∴ $\text{[math]}$ 或x＜0或x＞ $\text{[math]}$
由2t²-at+1＜0，得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
综上：①0＜a≤2 $\text{[math]}$ ，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②a＞2 $\text{[math]}$ 函数f（x） $\text{[math]}$ 上是增函数，在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=e²- $\text{[math]}$
∴f（x）在区间[1，e²]上值域是[2-3ln2，e²- $\text{[math]}$ ]
分析：（I）求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．
（II）由（I）所涉及的单调性来求在区间[1，e²]上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．
点评：本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．